基础解系是齐次线性方程组解空间的一组线性无关的解向量，它们构成了解空间的一个基。求解基础解系的一般步骤如下：
将线性方程组转化为标准形式
将线性方程组 $AX = b$ 转化为增广矩阵形式 $[A|b]$。
使用高斯消元法或矩阵运算将 $A$ 化为行最简矩阵（Reduced Row Echelon Form, RREF）。
确定自由未知量
行最简矩阵中非零行的数量即为系数矩阵 $A$ 的秩 $r（A）$。
自由未知量即为那些在行最简矩阵中对应列全为零的变量。
自由未知量的数量等于未知量总数 $n$ 减去系数矩阵的秩 $r（A）$，即 $n - r（A）$。
求解基础解系
令每个自由未知量分别取值为1，其余自由未知量取值为0，形成一组解向量。
将这组解向量写成列向量的形式，即为基础解系。
示例
假设我们有一个线性方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = b_1 \\
4x_1 + 5x_2 + 6x_3 = b_2 \\
7x_1 + 8x_2 + 9x_3 = b_3
\end{cases}
$$
转化为行最简矩阵
通过初等行变换，我们得到行最简矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
确定自由未知量
系数矩阵的秩 $r（A） = 2$，未知量总数 $n = 3$，因此自由未知量数量为 $n - r（A） = 1$。
求解基础解系
令自由未知量 $x_3 = 1$，其余自由未知量 $x_1, x_2$ 取值为0，得到基础解系：
$$
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
$$
这个基础解系表示解空间中的一个方向。
总结
求解基础解系的关键步骤是将线性方程组转化为行最简矩阵，确定自由未知量，然后通过设定自由未知量的值来构造基础解系。这个方法适用于任何线性方程组，无论其系数矩阵的秩是多少。